Evaluar la integral
\[ \int a^x \; dx \]
donde \( a \) es una constante tal que \( a \gt 0 \) y \( a \ne 1 \).
Primero cambiamos la base del exponencial \( a^x \).
Sea \( y = a^x \) y tomamos el \( \ln \) de ambos lados
\[ \ln y = \ln (a^x) \]
La propiedad del \( \; \ln \; \) dada por \( \; \ln a^x = x \ln a \; \) se usa para escribir lo anterior como
\[ \ln y = x \ln a \]
Usamos la relación entre el logaritmo y el exponencial para escribir lo anterior como
\[ y = e^{x \ln a} \]
y como \( y = a^x \), obtenemos
\[ a^x = e^{x \ln a} \]
Usando lo anterior, la integral dada se puede escribir como
\[ \int a^x \; dx = \int e^{x \ln a} dx \quad (1) \]
Ahora evaluamos la integral del lado derecho
Sea \( u(x) = x \ln a \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = \ln a \)
Por definición, 1 , 2 , 3 , el diferencial \( du \) se da por \( du = \dfrac{du}{dx} dx = \ln a \; dx \), por lo tanto \( du = \ln a \; dx \)
Usamos la sustitución \( u(x) = x \; \ln a \) en la integral derecha en \( (1) \) y escribimos
\[ \int e^{x \ln a} dx = \int e^{u} \; dx \]
Dividimos y multiplicamos el integrando en el lado derecho por \( \ln a \)
\[ \int e^{x \ln a} dx = \int \dfrac{1}{\ln a}e^{u} \ln a \; dx \]
Usamos el hecho de que \( du = \ln a \; dx \) en lo anterior y reescribimos la integral como
\[ \int e^{x \ln a} dx = \int \dfrac{1}{\ln a}e^{u} \; du \]
Evaluamos la integral anterior usando la fórmula integral \( \displaystyle \int e^x dx = e^x + c \) para obtener
\[ \int e^{x \ln a} dx = \dfrac{1}{\ln a} e^u + c \] , donde \( c \) es la constante de integración.
Sustituimos de vuelta \( u \) y escribimos
\[ \int e^{x \ln a} dx = \dfrac{1}{\ln a}e^{x \ln a} + c \]
y finalmente usando \( \displaystyle \int a^x \; dx = \int e^{x \ln a} dx \) en \( (1) \) arriba, escribimos
\[ \int a^x \; dx = \dfrac{1}{\ln a}e^{x \ln a} + c \]
o usando el hecho de que \( a^x = e^{x \ln a} \),
\[ \int a^x \; dx = \dfrac{1}{\ln a} a^x + c \]
