Evalúa la integral
\[ \int a^x \; dx \]
donde \( a \) es una constante tal que \( a \gt 0 \) y \( a \ne 1 \).
Primero cambiamos la base de la exponencial \( a^x \).
Sea \( y = a^x \) y tomamos el \( \ln \) de ambos lados:
\[ \qquad \ln y = \ln (a^x) \]
La propiedad del logaritmo natural \( \ln a^x = x \ln a \) se usa para escribir lo anterior como:
\[ \qquad \ln y = x \ln a \]
Usamos la relación entre el logaritmo y la exponencial para escribir lo anterior como:
\[ y = e^{x \ln a} \]
y dado que \( y = a^x \), obtenemos:
\[ a^x = e^{x \ln a} \]
Usando lo anterior, la integral dada puede escribirse como:
\[ \qquad \displaystyle \int a^x \; dx = \int e^{x \ln a} \; dx \qquad (1) \]
Ahora evaluamos la integral del lado derecho.
Sea \( u(x) = x \ln a \), lo que nos da \( \dfrac{du}{dx} = \ln a \).
Por definición, 1 , 2 , 3 , el diferencial \( du \) está dado por \( du = \dfrac{du}{dx} dx = \ln a \; dx \), por lo tanto \( du = \ln a \; dx \).
Usamos la sustitución \( u(x) = x \ln a \) en la integral de la derecha en \( (1) \) y escribimos:
\[ \displaystyle \int e^{x \ln a} dx = \int e^{u} \; dx \]
Dividimos y multiplicamos el integrando de la derecha por \( \ln a \):
\[ \qquad \displaystyle \int e^{x \ln a} dx = \int \dfrac{1}{\ln a}e^{u} \ln a \; dx \]
Usamos el hecho de que \( du = \ln a \; dx \) en lo anterior y reescribimos la integral como:
\[ \displaystyle \int e^{x \ln a} dx = \int \dfrac{1}{\ln a}e^{u} \; du \]
Evaluamos la integral anterior usando la fórmula integral \( \displaystyle \int e^x dx = e^x + c \) para obtener:
\[ \displaystyle \int e^{x \ln a} dx = \dfrac{1}{\ln a} e^u + c \]
donde \( c \) es la constante de integración.
Sustituimos de nuevo \( u \) y escribimos:
\[ \displaystyle \int e^{x \ln a} dx = \dfrac{1}{\ln a}e^{x \ln a} + c \]
y finalmente, usando \( \displaystyle \int a^x \; dx = \int e^{x \ln a} dx \) de \( (1) \) arriba, escribimos:
\[ \int a^x \; dx = \dfrac{1}{\ln a}e^{x \ln a} + c \]
o usando el hecho de que \( a^x = e^{x \ln a} \):
\[ \int a^x \; dx = \dfrac{1}{\ln a} a^x + c \]